“Como calcular a largura de uma TV” ou “Usei Pitágoras na vida real e foi incrível”

Introdução

Muitos se perguntam nas aulas de matemática “pra que eu vou usar isso na minha vida?”. Bem, é verdade que algumas coisas só serão úteis se você for para uma faculdade que faça uso delas (e nesse caso você vai achar que aprendeu pouco na escola), enquanto outras coisas você vai acabar esquecendo.

De qualquer forma, a escola é importante para “aprender a aprender” e além disso, vários conceitos são realmente úteis se você estiver prestando atenção.

Um exemplo que me aconteceu alguns anos atrás e voltou a acontecer há poucos dias é como descobrir a largura de uma TV sendo que você só tem o tamanho em polegadas. Digamos que você queira saber qual a maior TV que cabe num aposento mas não está conseguindo encontrar as medidas de largura e altura para outras TVs (sem ser aquela que você já tem).

Pensando nisso, acabei encontrando três jeitos de fazer a conta, dependendo do quanto você vai querer utilizar uma calculadora científica. Lembre que elas não são tão raras assim: existem várias funções científicas nas calculadoras do Android, Windows ou Linux. Também é possível utilizar planilhas eletrônicas para resolver as fórmulas.

Pré-requisitos

(Nem todo método precisa de todos os itens abaixo)

  • Saber que a medida em polegadas se refere à diagonal da TV.
  • Saber que a maioria das TVs de tela larga (wide) atuais tem proporção 16:9.
  • Um pouco de álgebra, para manipular as equações.
  • Como converter de polegadas para centímetros.
  • Um pouco de trigonometria, ou disposição para experimentar na calculadora e relembrar qual é o seno e qual é o cosseno e qual é a tangente (admito que eu já não lembrava direito mais).
  • E, obviamente, o teorema de Pitágoras, que apareceu no título.

Até onde sei, tudo isso faz parte do ensino fundamental e médio, não precisa ter feito curso superior de exatas.

Método 1

Vamos começar com Pitágoras. Neste método a calculadora só é necessária mais no final, na hora de calcular a raiz quadrada.

A fórmula é:

diagonal² = largura² + altura²

Até aí tudo bem? Óbvio que a TV é retangular, mas se pegarmos a diagonal teremos dois triângulos iguais com os quais poderemos fazer cálculos. A diagonal é a hiponetusa e os lados são os catetos.

Mas e agora? Sabemos a diagonal (32 pol., 40 pol., 49 pol., etc), mas não sabemos as duas outras informações! Como poderemos descobrir as outras duas? Ou pelo menos a largura?

Você se lembra que sabemos a proporção entre a altura e a largura? É 16:9. Mas 16 por 9 o quê? 16 por 9 centímetros? Que TV pequena! Ou 16 por 9 metros? Que TV grande!

Bom, digamos que a TV tem 16 unidades desconhecidas de largura por 9 das mesmas unidades desconhecidas de altura. Chamando essa unidade desconhecida de u, a equação fica:

diag² = (16u)² + (9u)²

Que podemos manipular assim:

diag² = 256u² + 81u²

diag² = 337u²

337u² = diag²

u² = diag²/337

Pronto! Sabendo a diagonal, podemos convertê-la para cm (basta multiplicar por 2,54):

49” × 2,54 = 124,46 cm

E então seguir os passos abaixo:

u = √(124,46² / 337)

u  ≈ 6,78

E agora podemos obter o que queremos:

largura = 16u

largura ≈ 108,48 cm

altura = 9u

altura ≈ 61,02 cm

Eu ainda adicionaria uns 2 ou 3 centímetros para levar em consideração as bordas da tela.

Método 2

Se a sua calculadora tem as funções de conversão de coordenadas polares e retangulares, é fácil. Essas funções às vezes são chamadas de →P e →R ou de P→R e R→P ou de →θ,r e →y,x. Ou a conversão pode ser feita mudando o modo da calculadora em algum menu.

Digite as coordenadas (16; 9) na notação que sua calculadora der suporte. Pode ser como um item só, ou como dois números separados ou pode também ser na ordem 9; 16. Converta com →P ou →θ,r. Identifique o ângulo θ na resposta, ele será aproximadamente 29,36° ou 0,51 radianos. Dada a mesma proporção entre os lados da TV, esse ângulo é o mesmo, só muda o comprimento da diagonal (hipotenusa).

Reaproveite o ângulo da resposta mas mude o valor da hipotenusa para a diagonal que conhecemos, 124,46 cm. Converta de volta para coordenadas retangulares, com →R ou →y,x. Pronto!

Sua resposta será a mesma:

largura ≈ 108,48 cm

altura ≈ 61,02 cm

Método 3

Este método usa as funções trigonométricas das calculadoras científicas, mas não precisa de nenhuma tecla de conversão pronta.

Lembra que a tangente é a divisão do cateto oposto pelo adjacente? Então vamos dividir altura por lagura, 9/16, o que resulta em 0,5625. Temos a tangente, mas como obtemos o ângulo correspondente? Para isso se usa a função atan (ou tan-1) da calculadora. O resultado é aproximadamente 29,36 graus ou 0,51 radianos, como já sabíamos pelo método 2. Como eu já disse, o legal do ângulo é que, mantendo as proporções da TV, ele se mantém igual. Então tanto faz dividir 9/16 quanto 61,02/108,48 (agora que já sabemos a resposta), a tangente é sempre 0,5625.

Com esse ângulo temos a inclinação da diagonal e podemos usá-lo para calcular o seno (que é igual a altura/diagonal) e o cosseno (que é igual a largura/diagonal) . Com a calculadora, podemos ter o valor numérico do seno e cosseno, e depois multiplicando pela diagonal (hipotenusa), que já é conhecida, “cancelamos” a divisão e obtemos altura e largura.

sen(29,36°) ≈ 0,4903

0,4903 = altura / 124,46

altura = 0,4903 × 124,46

altura ≈ 61,02 cm

cos(29,36°) ≈ 0,8716

0,8716 = largura / 124,46

largura = 0,8716 × 124,46

largura ≈ 108,48 cm

Lembre de deixar uma margem de garantia para as bordas e espaço ao redor da TV. A largura real deve ser, por exemplo, em torno de 110 cm. Já a altura vai depender se houver uma base embaixo ou não. Com 2 cm de borda e 7 cm de base, a altura ficaria em torno de 70 cm

Conclusão

Existem vários jeitos de calcular a acho que algum deles pode ser útil para você. Existe alguma imprecisão em relação às bordas e a base, mas é possível fazer boas estimativas.

Se quiser fazer totalmente sem calculadora, fica aí o desafio. Deve haver outras variantes do cálculo que eu não pensei e deve haver alguém que tem a paciência de calcular √(124,46² / 337) no papel. Mas não vejo problema de usar a calculadora. Ela nos abre possibilidades que seriam muito mais difíceis de fazer manualmente, já que no mundo real os números são bem mais quebrados do que nos problemas da escola. Além disso, a habilidade de ver um mesmo problema de vários ângulos e usar as diversas ferramentas disponíveis também é útil.

Desafios para os leitores:

  1. Testar o cálculo com outras proporções de TVs, monitores e celulares. Calcular a área de cada proporção. Se você tiver uma TV ultrawide com o mesmo tamanho diagonal, ela vai ter mais ou menos área visível que uma wide? Lembre-se que área de retângulo é simplesmente base×altura.
  2. E a fórmula de Bhaskara? Já usou num problema real?
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